在仅有零点电阻和电容可调节的情况下设计PLL滤波器【钜大锂电】

如参考文献中所描述，可采用标准过程来确定锁相环(PLL)中二阶环路滤波器的R0、C0和CP数值。它采用开环带宽(0)和相位裕量(ϕM)作为设计参数，并可扩展至三阶环路滤波器，从而确定R2和C2（图1）。该过程可直接解出CP，然后推导出其余数值。

2可能是集成在PLL内的固定值元件，因此仅有R0和C0用来控制环路响应。这便使得上述过程无效，因为无法调节CP。本文提出一种替代过程，可在CP数值固定时使用，突破了无法控制CP值造成的限制。

图1.典型二阶和三阶无源环路滤波器

假设条件

本环路滤波器设计方法基于两个假设，在三阶无源滤波器设计中，通过调节R0和C0来补偿R2和C2，可以将一个二阶环路滤波器设计扩展为三阶设计，此时通常会采用这两个假设条件。

R2和C2形成的极点频率应当至少比0（所需开环单位增益带宽）大一个数量级；f0le0.1/(2piR2C2)，其中f0=0/(2pi)。

R0-C0-CP网络的R2和C2串联组合的负载可忽略不计。

二阶环路滤波器的传递函数

二阶环路滤波器有两个时间常数（T1和T2）与元件有关：

环路滤波器传递函数的T1、T2和CP很重要，因为它对于PLL的整体响应起着很大的作用：

PLL系统函数

图2中的小信号模型为PLL响应的等式化提供了一种途径，并为分析输入端相位干扰所造成的输出端相位变化提供了模板。注意，压控振荡器(VCO)作为一个频率源，表现为理想的相位积分器，因而其增益(KV)系数为1/s（对积分进行等效拉普拉斯变换）。因此，PLL的小信号模型是复频率s的函数（s=sigma+j）。

图2.PLL小信号模型

PLL的闭环传递函数(HCL)定义为：OUT/IN。开环传递函数(HOL)定义为：FB/IN，与闭环传递函数相关。建议以HOL来表示HCL，因为开环传递函数包含闭环稳定性的线索：

K表示鉴频鉴相器(PFD)、电荷泵和VCO的组合增益也就是说，K=KDKV，其中KD表示电荷泵电流，单位为A；KV表示VCO增益，单位为Hz/V。HOL、HCL和HLF均为s的函数。等式4中的负号表示图2中求和节点的负反馈导致相位反转。根据等式4定义的HOL导致等式5中分母的减法运算，直观地解释了闭环稳定性。

检查等式5，可以发现潜在的环路稳定性问题。由于HOL是复数频率s=sigma+j的函数，它必然具有取决于频率的幅度和相位分量。因此，对于任意的s值，如果HOL同时表现出单位增益和零点相移特性（或2pi弧度的整数倍），则HCL分母为零，闭环增益再次变为未定义，系统变得极不稳定。这意味着稳定性受依赖于频率的HOL幅度和相位特性所控制。事实上，在使得HOL为单位幅度的频率处，HOL相位必须离开零（或离开2pi任意整数倍）足够远，才能避免等式5中的分母为零。

使HOL为单位幅度处的频率0非常重要。0处的HOL相位决定了系统的相位裕量ϕM。0和ϕM都可由HOL推导得出。

根据0和ϕM定义R0和C0

0和C0

使用设计参数0和ϕM来确定R0和C0值要求表达式包含这四个变量，以及其它常数项。可以从等式4入手，因为等式4定义了HOL。这样便将HLF加入其中，进而通过T1和T2加入R0和C0。由于HOL具有幅度和相位，因此原则上0和ϕM也能加入其中。将等式3代入等式4，重新排列各项可得等式6；等式6以T1和T2以及常数K、N和CP来表示HOL：

将等式3代入等式4，重新排列各项可得等式6；等式6以T1和T2以及常数K、N和CP来表示HOL：

在s=j时进行评估，可得HOL频率响应如下：

分母中的(j)2项可简化为2：

HOL幅度和相位为：

记住，T1和T2是R0、C0和CP代数组合的缩写表达式。=0时评估等式9，并使|HOL|=1即可定义单位增益频率0，表示HOL为单位幅度时的频率。

类似地，=0时评估等式10，并使angHOL=ϕM即可定义相位裕量ϕM，表示频率为0（单位增益频率）时的HOL相位。

扩展等式11和等式12很容易，将等式1中的T2和等式2中的T1代入即可将R0和C0带入等式。因此，我们顺利地将0和ϕM与变量R0和C0以及常数K、N和CP相关联。

同时求解我们所得到的等式中的R0和C0很困难。MathCad提供的符号处理器可求解这两个联立方程，但必须以arctan代替arccos。进行变换后，符号处理器便可求解R0和C0，得到下列解集（R0A、C0A；R0B、C0B；R0C、C0C；以及R0D、C0D）。有关对等式12进行变换以便使用arccos函数的详细信息请参见附录。

这个结果是有问题的，因为目标是在给定0和ϕM的情况下求解R0和C0；而运算结果表明存在四对可能的R0和C0，而非唯一的R0、C0对。然而，若进一步检查这四组结果，便可得出只有一组解。

注意，就PLL建模而言，上述等式中的所有变量都具有正值，包括cos(ϕM)；这是因为，ϕM的范围限制在0和pi/2之间。因此，C0A和R0B显然是负数。由此可知，R0A、C0A和R0B、C0B可立即加以排除，因为元件值不可能为负，但需进一步分析R0C、C0C和R0D、C0D。

注意，包含R0C、C0C和R0D、C0D在内的四个等式有公因数：

进一步分析可知，等式13的形式为：a2(2ac)cos(beta)+c2。以b2表示该式，可得：

等式14即为余弦定理，以a、b和c表示三角形的三条边长度，beta表示顶点对边b的内角。由于b2表示三角形一条边长度的平方，它必须为正，这也就意味着等式14的等号右边也必须为正。因此，等式13必须为正，意味着R0D的分母为正。R0D的分子同样为正，因此R0D必须为负，这便排除了R0D、C0D。这使得仅有R0C、C0C对可作为等式11和等式12的解。

R0和C0的限制

虽然等式15和等式16有可能是等式11和等式12的公共解，但它们仅在R0和C0均为正时才有效。仔细检查R0可知其为正它的分子为正，因为cos2(x)范围为0到1，且它的分母与等式13相同，由前文可知其为正。C0分子同样与等式13相同，因此只要分母满足下列条件，C0就为正：

图3以图形方式表示这种关系；不等式17左右两侧均等于y（蓝色曲线和绿色曲线），水平轴共享0和ϕM。两条曲线的交点表示0和ϕM的边界。红色弧线部分所表示的条件使等式17成立。红色弧线下方的水平轴部分决定了C0为正的ϕM和0范围。注意，蓝色曲线和绿色曲线交点正下方水平轴上的点确定了ϕM_MAX，即ϕM的最大值；该值确保C0为正。

等式18要求CPN02小于K，才能满足ϕM_MAX的arccos范围为0到pi/2的限制条件。这便确定了0_MAX，即0的上限，保证C0为正。

图3.C0分母的限制条件

补偿R2和C2（三阶环路滤波器）

就三阶环路滤波器而言，R2和C2分量产生额外的相移Deltaϕ；该相移与二阶环路滤波器有关：

为了处理这个额外的相移，应将其从所需的ϕM值中扣除。

将ϕM_NEW代入等式15和等式16可得到不同的R0和C0，然后针对二阶解，将新数值用来补偿R2和C2引入的额外相移。R2和C2的存在还会影响ϕM_MAX，即ϕM的最大允许值。ϕM新的最大值(ϕM_MAX_NEW)为：

结论

本文演示了仅有R0和C0元件值可调节时，如何使用开环单位增益带宽(0)和相位裕量(ϕM)作为二阶或三阶环路滤波器的设计参数。采用R0和C0的二阶环路滤波器仿真PLL，结果与HOL以及由此得到的相位裕量理论值完美吻合，从而验证了这些等式。根据等式19和等式18，参数0和ϕM针对二阶环路滤波器分别具有上限值。

确定R0和C0的过程中对二阶环路滤波器进行了假设，但通过将所需的相位裕量(ϕM)根据等式21调节为新的值(ϕM_NEW)便可扩展应用到三阶环路滤波器的设计中，进而根据等式22得到一个新的上限值(ϕM_MAX_NEW)。

虽然使用二阶环路滤波器进行仿真可验证等式15和等式16，但若要验证将设计过程扩展至三阶环路滤波器的等式则需对环路滤波器响应HLF(s)进行重新定义，使其包含R2和C2，如下所示：

将HLF的这种形式应用到HOL和HCL等式，便可使用R0和C0仿真三阶环路滤波器设计。对其进行仿真可知，当使用三阶环路滤波器时，由理论频率响应和相位裕量推导而得的R0和C0计算值与PLL的HOL有关。这主要是因为受到了三阶环路滤波器中HOL的R2和C2影响。

如前所述，R0和C0等式假定为使用二阶环路滤波器，但在二阶滤波器中不存在R2和C2，因此虽然通过调节R0和C0可以补偿R2和C2造成的相移，但是将它们看做二阶环路滤波器的一部分还是会构成一个误差源。然而，哪怕存在这样的误差，仿真结果也表明，使用经过调节的R0和C0值，但将0限制在最高为等式19推导结果的frac14也能获得令人满意的结果。事实上，仿真开环带宽和相位裕量的结果表明，使用三阶环路滤波器的PLL，其与设计参数（0和ϕM）的偏差很小。

仿真结果

以下为针对三阶环路滤波器PLL运行四次仿真的结果。所有仿真均采用下列固定环路滤波器元件和PLL参数：

CP=1.5nF

R2=165k

C2=337pF

KD=30A

KV=3072(25ppm/Vat122.88MHz)

N=100

仿真1和仿真2使用0=100Hz，该值接近124.8Hz的计算上限值(0_MAX)。因此，仿真1和仿真2偏离设计参数值（0和ϕM）约10%。另一方面，仿真3和仿真4使用0=35Hz，约为上限值的frac14。与预期相一致，仿真3和仿真4非常接近设计参数（0和ϕM），误差仅为1%左右。

表1汇总了仿真结果，并囊括了给定设计参数0和ϕM的R0、C0、0_MAX和ϕM_MAX计算值。注意，为了方便进行对比，建议仿真1和仿真3都使用ϕM=80，但仿真1必须满足等式22的限制条件，即ϕM

表1：仿真结果汇总

图4和图5显示各仿真的开环和闭环响应。